sollte mit mir vorliebnehmen.

Letztes Mal in der Vorlesung hat der Professor Pfeil aufgehört bei der C-G-Methode.

Die hat er noch nicht so richtig eingeführt, deswegen mache ich das jetzt.

Die ist, glaube ich, von diesen Gleichungsschlössern das komplizierteste Verfahren, was ihr hier

kennenlernt.

Aber wenn man da die richtigen Intuitionen so auf geometrische Ebene findet, dann versteht

man auch, was da geschieht.

Was wir nicht versuchen, ist hier direkt mit der AX gleich B Gleichung hier was zu machen,

sondern wir versuchen, diese Gleichung hier zu lösen.

Das Lustige an dieser Gleichung hier ist, wenn man die ableitet und A positiv definiert

ist, dann ist tatsächlich das was rauskommt als Ableitung hier AX gleich B und die Funktion

hat da ein Minimum an der Stelle, wo die richtige Lösung erreicht ist.

Das heißt, dass wir uns mehr oder weniger vorstellen, dass die Ableitung

die ist 0 für X ist die richtige Lösung.

Jetzt müssen wir uns mal ein paar Begriffe überlegen.

Also das erste was ich einführen möchte ist der Fehler, also Fehler im Schritt I, der

ist einfach bloß die Abweichung von XI von der rechten Lösung.

Wenn wir den jetzt wüssten tatsächlich, dann hätten wir das alles schon gelöst.

Natürlich wissen wir den nicht.

Und wir haben auch noch das Residuum, das ist einfach mehr oder weniger der Fehler in

einem anderen Raum und der entspricht, wie es der Zufall so will natürlich, einfach nur

das Umgedrehte unserer ursprünglichen Gleichung.

So, jetzt muss man sich das Ganze so ein bisschen geometrisch vorstellen.

Also was haben wir?

Wir haben also irgendwo einen Startpunkt, das ist also X und X0 und wir haben hier irgendwo

im Raum die richtige Lösung X.

Und was wollen wir jetzt natürlich schaffen?

Wir wollen natürlich von hier nach hier gehen.

Und der Gedanke ist natürlich dieser Vektor hier, der ist selbstverständlich unser EI.

So, jetzt kommt eigentlich der Trick und da müssen wir uns so ein bisschen der Bedingungen

bedienen, die wir hier gesagt haben, nämlich das asymmetrische und positiv definiert.

Dieses Symmetrisches brauchen wir eigentlich hauptsächlich dafür, damit die Ableitung

davon auch wirklich X gleich B entspricht.

Aber dieses positiv definiert, das ist jetzt wichtig.

Und da schauen wir uns mal hier diese Zeichnung an.

Und ja, wenn wir jetzt hier diesen Raum in zwei Teile unterteilen und zwar genau an der

senkrechten zu dieser Fehlerding.

Dann haben wir hier einen Bereich und auf der anderen Seite einen anderen Bereich.

Und was wir wissen ist, naja, also EI liegt auf dieser Seite, aber auch RI liegt dann

auf dieser Seite.

Ne, umgekehrt natürlich, auf dieser Seite.

Das wird ja keinen Sinn ergeben.

So, warum können wir das behaupten?

Wir haben gesagt, dass A positiv definiert ist.

Jetzt muss man sich überlegen, naja, hier da ist dieses A mit drinnen.

Und positiv definiert heißt ja, dass alle Eigenwerte größer sind als Null.

Jetzt müssen wir uns nochmal darüber nachdenken, was das denn für eine geometrische Bedeutung

an der Stelle hat.

Na ja, der Eigenwert ist, wenn ich einen Vektor habe und ich tue einen, also wenn ich einen

Eigenvektor habe, tue den in A rein, dann kommt der um den Eigenwert gestreckt heraus.